Hayatınızın aşikâr bir devrinde matematik sınavında iki şık ortasında kaldığınız illaki olmuştur. Bu soru birinci ortaya çıktığında cevabının 1/2 olduğu savunulsa da daha sonra yanıtın 1/3 olduğu fikri ortaya atıldı. Bu ‘cevapsızlık’ ise hâlâ devam ediyor. Yani imtihanlarda birden fazla yanıt ortasında kalmak her vakit yanlışı doğurmuyor.
Soruya baktığınızda tahminen siz de cevap için ikiye bölünmüş olacaksınız. Bu sebeple en baştan hakikat yanıtı size sunamadığımızı belirtmekte yarar var. Artık soruya geçelim.
Uyuyan Hoş Sorunu olarak karşımıza çıkan bu sorunda bir ‘uyuyan güzel’ olacak.
Bu sorun, çıkan farklı sonuçlardan ötürü matematikçileri birbirine düşürmüş durumda. Daha da ilginci ise bu bahisle ilgili yapılmış 100’den fazla çalışma olmasının yanında bu çalışmalar ortasında hangi tahlilin yanlışsız olduğunu bizlere vermiyor.
Temelde bir olasılık sorusu olan problem, bir fikir deneyinden ibaret aslında. Bu mevzuyu açıklığa kavuşturmak için araştırmacılar bu deneyi bir kişinin üzerinde denemeye karar verdiler. Deneyin isminin uyuyan hoş olmasının sebebi de deneğin uyutulup uyandırılmasıyla alakalı.
Deney kapsamında, uyuyan bireye pazar günü bir uyku ilacı veriliyor ve uykuya dalması sağlanıyor.
Deney hakkında evvelce bilgi sahibi olan denek uyutulur. Çalışmayı yürütenler yazı cinse atar ve tura gelirse; pazartesi günü, uyuyan kişiyi uyandırırlar. Ve bu şahsa paranın cinse gelme ihtimalini sorarlar. Ancak yazı gelirse de pazartesi günü bu kişiyi uyandırırlar.
Daha sonra bu bireye diğer bir uyku hapı vererek tekrar uyumasını sağlarlar. Salı günü tekrar uyandırılan bu bireye soruyu bir defa daha sorarlar. Deney bu formda sona erer. Bu süreçte uyuyan kişi, uyku ilacının etkisiyle daha evvel uyandırılıp uyandırılmadığını ayırt edemez.
Siz de kendinizi bu kişinin yerine koyun: Bu türlü bir deneye tabi tutulduğunuzu ve deney kapsamında size birtakım sorular sorulacağını biliyorsunuz.
Ancak uyandığınızda hangi gün olduğunu ya da daha önce uyandırılıp uyandırılmadığınızı bilmiyorsunuz. Sezgisel olarak verilecek yanıt çoklukla 1/2 olacaktır. Çünkü madenî parayla atılan yazı turada cinse gelme mümkünlüğü her durumda 1/2’dir.
Uyuyan kişi uyandığında, günün pazartesi ya da salı olup olmadığını bilemez; ancak madenî paranın durumu bu gerçeği etkilemez. Hangi gün uyanırsa uyansın, sonuç her vakit tıpkı olacaktır.
Bu sorunu düşündüğümüzde, üç farklı senaryo ortaya çıkıyor. Pazartesi günü cinse geldiğinde uyandırılacak, birebir formda pazartesi günü yazı geldiğinde tekrar uyandırılacak ve salı günü yazı geldiği vakit da uyandırılacaktır.
Peki, her bir olay için olasılıklar nelerdir?
Koşullu olasılıklar hesaplamasına göre üç durum da eşittir. Bunu bilim felsefecisi Adam Elga’nın formülü ile açıklamak istiyoruz: Bugün pazartesi (M) olsun. P de mümkünlük manasına geliyor.
Pazartesi/tura (M, T) ve pazartesi/yazı (M, Y) durumları için olasılıklar tartışmasız eşittir: P (M, T) = P (M, Y) = 1/2. Birebir formda, uyuyan kişi uyanıp yazı geldiğini öğrenirse, o gün pazartesi yahut salı olmalıdır. Bu durumda da P (M, Y) = P (T, Y) = 1/2 olur. Bu eşitlikleri birleştirirsek geçişme özelliği sayesinde P (M, Y) = P(M, T) = P(T, Y) üçlü eşitliğini elde ederiz. Toplam olasılıkların 1 olduğu göz önüne alındığında, her bir kıymet 1/3’tür.
Kafanızın karıştığını biliyoruz. Endişelenmeyin, biz de çözerken zorlandık.
Başlangıçta 1/2 olarak düşündüğünüz sonuç hakkındaki niyetleriniz değişmiş olabilir, tahminen bir ölçü kuşkuya düşmüşsünüzdür.
Cevabın 1/2 olduğunu savunanlar, deney sayısını temel alırken 1/3 diyenler uyuyan kişinin uyanma sayısını göz önüne alıyor. 1/2’yi savunanlar, deneyi yapanın bakış açısından yaklaşırken 1/3’ü savunanlar ise uyuyan kişinin bakış açısından hesaplamalar yapıyor. Yani matematik, her vakit objektif yanıtlar vermiyor. Vereceğiniz yanıt biraz da sizin duygularınızla, ön yargılarınızla ilgili olabiliyor.
Sonuç olarak sorun tek bir tahlile sahipmiş üzere gözükse de iki sonucu olması herkesi şaşırtan bir soruna dönüşmüş durumda. Pekala siz yanıtı ne buldunuz?